Quanta Magazine calificó 2025 como un año histórico para las matemáticas y seleccionó tres grandes avances. Uno fue el trabajo sobre la brecha espectral de las superficies hiperbólicas: Nalini Anantharaman, del Collège de France, y Laura Monk, de la Universidad de Bristol, zanjaron una conjetura que Peter Buser había planteado en 1984. El argumento está expuesto en una serie de dos preprints en arXiv.

La demostración se apoya en el trabajo de Maryam Mirzakhani, la matemática iraní que murió en 2017 a los 40 años.

¿Qué son las superficies hiperbólicas? El mundo en forma de silla de montar

La forma más fácil de agarrar una superficie hiperbólica es pensar en una silla de montar. A diferencia de los planos ordinarios o las superficies esféricas, las superficies hiperbólicas se curvan hacia arriba en una dirección y hacia abajo en otra, poseyendo lo que los matemáticos llaman curvatura negativa.

Estas superficies hiperbólicas existen en un espacio especial que no puede manejarse con la geometría euclidiana que aprendemos en la escuela. Tienen propiedades que desafían la intuición, como comportamientos diferentes de las líneas paralelas y triángulos cuyos ángulos interiores suman menos de 180 grados. Sin embargo, esta geometría aparentemente extraña desempeña papeles cruciales en diversos campos, desde la estructura del universo hasta la mecánica cuántica e incluso el diseño de internet.

¿Qué es la brecha espectral? Midiendo la «conectividad» de una superficie

En el centro de esta investigación está la «brecha espectral», un número que cuantifica qué tan fácilmente se propaga la información a través de una superficie y qué tan bien conectada está.

Imagine una mancuerna: dos bolas grandes unidas por una barra delgada. Esta forma tiene mala conectividad porque moverse de un extremo al otro requiere pasar por la barra estrecha. Tales formas tienen brechas espectrales pequeñas.

En cambio, las superficies donde toda la superficie está uniformemente conectada y se puede mover eficientemente de cualquier punto a cualquier otro tienen brechas espectrales grandes. Los matemáticos sabían que el techo teórico es 1/4 a medida que crece el género, y si las superficies hiperbólicas elegidas al azar se acercan a él llevaba décadas en discusión. Que tales superficies existan lo demostraron en 2021 Will Hide y Michael Magee mediante una construcción probabilística.

Siete años de investigación culminan en la demostración

La investigación de Anantharaman y Monk tardó aproximadamente siete años en completarse, comenzando en 2018 cuando Monk inició como estudiante de doctorado de Anantharaman.

Se basaron en la técnica de la «medida de Weil-Petersson» desarrollada por Mirzakhani e introdujeron una nueva herramienta matemática llamada «funciones de Friedman-Ramanujan».

Lo que demostraron es esto: a medida que crece el género (el número de agujeros, una medida de la complejidad de la superficie), la probabilidad de que una superficie tenga una brecha espectral de al menos 1/4 menos épsilon tiende a 1, para cualquier épsilon mayor que cero. La distinción importa: no probaron que se alcance 1/4 exacto, sino que se puede llegar arbitrariamente cerca. En la práctica, si se elige al azar una superficie de género grande, casi con seguridad tendrá una conectividad casi óptima.

La clave fue un paso de filtrado que aparta las superficies con geodésicas (los caminos más cortos sobre una superficie) enmarañadas, como excepciones que no mueven el resultado global. Traslada al terreno geométrico el razonamiento que Joel Friedman empleó en grafos para resolver la conjetura de Alon.

Aplicaciones en el mundo real

¿Qué impacto potencial podría tener este descubrimiento de matemáticas puras en nuestra vida cotidiana?

1. Comprensión del caos cuántico

En la mecánica cuántica existe un fenómeno llamado «caos cuántico» donde las partículas se mueven de forma irregular. La teoría de las brechas espectrales desempeña un papel esencial en la comprensión del caos cuántico. Esto podría contribuir al desarrollo de computadoras cuánticas y avances en criptografía cuántica.

2. Diseño eficiente de redes de comunicación

Se sabe que las redes complejas, incluido internet, tienen conexiones profundas con las estructuras del espacio hiperbólico. La investigación sobre brechas espectrales podría aplicarse al diseño de redes más eficientes y al desarrollo de algoritmos de enrutamiento que permitan que la información viaje más rápido. Las investigaciones han demostrado que representar la estructura de internet en el espacio hiperbólico requiere muchas menos dimensiones que representarla en el espacio euclidiano tradicional.

3. Corrección de errores cuánticos

Las computadoras cuánticas son extremadamente sensibles al ruido, lo que convierte la corrección de errores en un gran desafío. La investigación sobre códigos de corrección de errores cuánticos que utilizan geometría hiperbólica está avanzando, y este logro también podría contribuir a este campo.

4. Aprendizaje automático e IA

En los últimos años, el aprendizaje automático en el espacio hiperbólico ha ganado atención. Debido a que puede representar eficientemente estructuras de datos jerárquicas (como las relaciones semánticas entre palabras en el procesamiento del lenguaje natural), puede contribuir al avance de la tecnología de IA.

Un relevo entre matemáticas

Detrás de esta investigación hay una notable historia de sucesión entre matemáticas. Maryam Mirzakhani fue la primera mujer en recibir la Medalla Fields (a menudo llamada el Nobel de las matemáticas) en 2014. Tras su muerte, su investigación la continuaron muchos matemáticos, y desembocó en este resultado.

El Premio Breakthrough incluye el «Premio Maryam Mirzakhani New Frontiers», creado en su honor para apoyar a matemáticas jóvenes.

Actualización: el 23 de julio de 2026, en el Congreso Internacional de Matemáticos de Filadelfia, Hong Wang recibió una Medalla Fields por trabajos que incluyen el problema de Kakeya en tres dimensiones. Es la tercera mujer premiada en los 90 años del galardón, tras Mirzakhani en 2014 y Maryna Viazovska en 2022.

Lo que abre la matemática abstracta

El hecho de que descubrimientos matemáticos aparentemente abstractos y alejados de nuestra vida cotidiana sean en realidad fundamentales para las tecnologías que sostienen nuestra sociedad reafirma la importancia de la investigación básica.

Los investigadores japoneses también aparecen en este terreno: Takuro Mochizuki, de la Universidad de Kioto, recibió el Premio Breakthrough de Matemáticas en 2022.

¿Cómo ha reaccionado su país ante tales descubrimientos matemáticos? ¿Cuál es el estado del apoyo social y el interés en la investigación de matemáticas puras en su región? ¡Nos encantaría conocer su opinión!

Referencias