Quanta Magazine calificó 2025 como un año histórico para las matemáticas y situó la solución parcial del sexto problema de Hilbert entre los tres grandes avances del año. El problema estaba abierto desde 1900.

¿Qué es el sexto problema de Hilbert?

Los 23 problemas que dieron forma a las matemáticas del siglo XX

En 1900, el matemático alemán David Hilbert presentó 23 problemas sin resolver en el Segundo Congreso Internacional de Matemáticos en París. Estos problemas se convirtieron en la brújula orientadora de la investigación matemática a lo largo del siglo XX, y resolver cualquiera de ellos se consideraba el mayor honor para un matemático.

El sexto problema se refería a la «axiomatización de la física». En términos simples, preguntaba si las leyes de la física podían reconstruirse como un sistema lógico riguroso, similar a las matemáticas.

Del mundo de las partículas al mundo de los fluidos

Este problema aborda específicamente el comportamiento de sustancias cotidianas como el aire y el agua. El aire y el agua están compuestos de partículas increíblemente pequeñas (moléculas) invisibles a simple vista. El movimiento de partículas individuales puede explicarse mediante las simples leyes del movimiento de Newton.

Sin embargo, el comportamiento de un «fluido» compuesto por una enorme cantidad de partículas se describe mediante ecuaciones completamente diferentes y complejas llamadas ecuaciones de Navier-Stokes. El sexto problema de Hilbert pregunta: «¿Pueden las leyes que describen el movimiento macroscópico de los fluidos derivarse rigurosamente de manera matemática a partir de las leyes que describen el movimiento microscópico de las partículas?»

El avance de 2025

Tres matemáticos descifran el código

El 3 de marzo de 2025, Yu Deng, de la Universidad de Chicago, junto con Zaher Hani y Xiao Ma, de la Universidad de Michigan, publicaron en arXiv un preprint con una solución a este problema de 125 años.

Su enfoque consistió en dos etapas: en la primera etapa, derivaron rigurosamente la ecuación de Boltzmann, que describe el comportamiento estadístico de las partículas, a partir de un sistema de innumerables esferas pequeñas que sufren colisiones repetidas. El concepto clave aquí es el «límite de Boltzmann-Grad», que muestra que la frecuencia de colisión se mantiene apropiadamente a medida que el número de partículas aumenta y su tamaño disminuye.

En la segunda etapa, derivaron las ecuaciones fundamentales de la dinámica de fluidos, las ecuaciones de Euler y las ecuaciones de Navier-Stokes, a partir de la ecuación de Boltzmann.

¿Por qué fue tan difícil?

Las investigaciones anteriores solo habían demostrado la derivación de la primera etapa para períodos de tiempo extremadamente cortos. Debido a que las innumerables partículas en un fluido sufren colisiones repetidas, rastrear todos los patrones de colisión posibles era matemáticamente extremadamente difícil.

El equipo construyó nuevas técnicas que extendieron demostraciones válidas antes por menos de un parpadeo a intervalos de tiempo arbitrariamente largos. Por primera vez, el camino matemático que va del movimiento microscópico de las partículas al comportamiento macroscópico de los fluidos queda recorrido de punta a punta.

El escenario, eso sí, es un gas diluido de esferas rígidas con colisiones elásticas, tomado en el límite de Boltzmann-Grad. Los potenciales de interacción más realistas y los fluidos densos siguen intactos. Por eso se trata de una solución parcial y no del sexto problema entero.

Nueva luz sobre el misterio de la «flecha del tiempo»

Reversibilidad e irreversibilidad del tiempo

Esta investigación también proporciona nuevas perspectivas sobre uno de los misterios fundamentales de la física: la «flecha del tiempo».

En el mundo microscópico gobernado por la mecánica newtoniana, el tiempo es reversible. Las leyes físicas se mantienen incluso si el tiempo corre hacia atrás. Por ejemplo, reproducir en reversa la colisión de bolas de billar no presenta contradicciones físicas.

Sin embargo, en el mundo macroscópico, el tiempo es irreversible. Envejecemos pero no rejuvenecemos. La tinta vertida en agua se dispersa pero no se reconcentra espontáneamente. Las cosas calientes se enfrían pero no se calientan espontáneamente. ¿Por qué el tiempo puede correr hacia atrás a nivel microscópico pero solo en una dirección a nivel macroscópico?

Inevitabilidad estadística

Este trabajo aporta una explicación matemática de esa asimetría. Los movimientos individuales de las partículas son reversibles en el tiempo, pero, estadísticamente, casi todos los patrones de colisión avanzan en la dirección que marca la flecha del tiempo. Que un gas se disperse es lo corriente; que se recoja solo en un rincón no es imposible, simplemente es tan improbable que no ocurre.

Impacto potencial en nuestras vidas

Avances en dinámica de fluidos

Si esta investigación obtiene reconocimiento formal, podría promover nuevos desarrollos teóricos en dinámica de fluidos y mecánica estadística. Esto podría contribuir a mejorar la precisión de las predicciones meteorológicas, la optimización del diseño de aviones y barcos, y una mejor comprensión del comportamiento de los fluidos biológicos como el flujo sanguíneo.

Aplicaciones a otros problemas sin resolver

Las nuevas técnicas matemáticas desarrolladas por el equipo de investigación pueden ser aplicables a otros problemas sin resolver. Por ejemplo, podrían contribuir a resolver uno de los Problemas del Milenio: «la existencia y suavidad de las soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes».

Impacto en la física fundamental

Una comprensión más profunda de la irreversibilidad del tiempo podría afectar conceptos fundamentales de la física, incluyendo la reinterpretación de la segunda ley de la termodinámica y la reevaluación de la ley del aumento de la entropía. Además, se anticipan desarrollos en cosmología y en tender puentes entre la mecánica cuántica y la mecánica clásica.

Realizando un sueño de 125 años

La pregunta que Hilbert planteó en 1900 ha recibido, 125 años después, una respuesta de peso. Es un puente tendido sobre la frontera entre las matemáticas y la física.

Actualización: el 23 de julio de 2026, en el Congreso Internacional de Matemáticos de Filadelfia, Yu Deng recibió una Medalla Fields 2026. La mención incluye este trabajo: la derivación rigurosa de la ecuación de Boltzmann a partir de la dinámica de esferas rígidas para gases enrarecidos. Deng impartió además una conferencia invitada en el propio congreso titulada «Hilbert's Sixth Problem: Particles and Waves».

No hace falta ser matemático ni físico para que esto cale. Saber que hay tanta estructura bajo el flujo del agua y el movimiento del aire cambia cómo se ven esas cosas.

¿Cómo se ha informado sobre este gran descubrimiento matemático en su país? ¿Qué opina sobre la relación entre la física y las matemáticas? ¡Nos encantaría escucharlo!

Referencias